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Wie würden Sie beweisen, dass Polynomfunktionen nicht exponentiell sind?

Lösung:

Dein Beweis ist richtig. Das kann man auch sagen $lim_{xto-infty}e^x=0$, während du hast$$lim_{xto-infty}P(x)=pminfty$$wenn $P$ ist eine nichtkonstante Polynomfunktion. Und natürlich ist die Exponentialfunktion nicht konstant.

Vermuten $e^x=P(x)$, wo $P$ ist ein Polynom vom Grad $n$. Beachten Sie zuerst, dass $ngt0$, schon seit $e^x$ ist nicht konstant. Es folgt dem $P(2x)$ und $(P(x))^2$ sind Polynome von unterschiedlich Grad, nämlich $n$ und $2n$. Aber $P(2x)=e^{2x}=(e^x)^2=(P(x))^2$ sagt, sie seien von gleichem Grad, was ein Widerspruch ist. So $e^x$ ist keinem Polynom gleich.

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