Skip to content

Wie können wir beweisen, dass es eine Zahl $a$ gibt, so dass $lim_{hto 0}frac{a^{h} -1}{h}=1$ ist?

Unabhängig davon können wir beweisen, dass es eine Zahl gibt $e$ so dass $e = lim_{n to infty} (1+1/n)^n$ zusammen mit der Eigenschaft, die für alle $n in mathbb{N}$,

$$left(1 + frac{1}{n} right)^n < e < left(1 + frac{1}{n} right)^{n+1}$$

Es folgt dem

$$1 < n(e^{1/n}-1) < nlinks[left(1 + frac{1}{n} right)^{1/n}left( 1+ frac{1}{n}right)-1 right] leqslant 1 + frac{1}{n} + frac{1}{n^2},$$

wobei die rechte Ungleichung unter Verwendung der Bernoulli-Ungleichung erhalten wird $(1 + 1/n)^{1/n} leqslant 1 + 1/n^2$.

Nach dem Squeeze-Theorem erhalten wir

$$tag{*}lim_{n to infty}frac{e^{1/n}-1}{frac{1}{n}} = 1$$

Von hier aus ist es nicht schwer, das zu zeigen

$$tag{**} lim_{h to 0+}frac{e^{h}-1}{h} = 1$$

Nehmen $n = lfloor1/hrfloor$ Wenn $h > 0$wir haben $n leqslant 1/h < n+1$ und

$$frac{n}{n+1}(n+1)(e^{1/n+1} - 1)= n(e^{1/n+1} - 1 ) leqslant frac{ e^h -1 }{h} leqslant (n+1)(e^{1/n} -1) = frac{n+1}{n}n(e^{1/n}-1) $$

Seit $n bis infty$ dann und nur dann, wenn $h bis 0$ wir erhalten (**) nach dem Squeeze-Theorem unter Verwendung des vorherigen Ergebnisses

. Mit etwas mehr Arbeit können wir das Limit zeigen $1$ wird auch als erreicht$h bis 0-$

.

Click to rate this post!
[Total: 0 Average: 0]



Anderer Beitrag

Schreibe einen Kommentar

Deine E-Mail-Adresse wird nicht veröffentlicht.