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Wie kann man die Schrödinger-Gleichung herleiten?

Wir möchten Ihnen die beste Antwort geben, die wir online gefunden haben. Wir hoffen, dass es Ihnen hilft, und wenn Sie etwas teilen können, das uns helfen kann, uns zu verbessern, tun Sie dies freiwillig.

Lösung:

Beachten Sie, dass eine „mathematische Ableitung“ eines physikalischen Prinzips im Allgemeinen nicht möglich ist. Mathematik betrifft nicht die reale Welt, wir brauchen immer empirischen Input, um zu entscheiden, welche mathematischen Rahmen der realen Welt entsprechen.

Die Schrödinger-Gleichung entsteht jedoch auf natürliche Weise aus der klassischen Mechanik durch den Prozess der Quantisierung. Genauer gesagt können wir die Quantenmechanik aus der klassischen Mechanik rein durch die Lie-Theorie motivieren, wie hier diskutiert wird, was die Quantisierungsvorschrift ergibt

$$ {dot{},dot{}} mapsto frac{1}{mathrm{i}hbar}[dot{},dot{}]$$

für die klassische Poisson-Klammer. Nun, die klassische Entwicklung von Observablen auf dem Phasenraum ist

$$ frac{mathrm{d}}{mathrm{d}t} f = {f,H} + partial_t f$$

und so ist seine Quantisierung die Operatorgleichung

$$ frac{mathrm{d}}{mathrm{d}t} f = frac{mathrm{i}}{hbar}[H,f] + partial_t f$$

das ist die Bewegungsgleichung im Heisenberg-Bild. Da das Heisenberg- und das Schrödinger-Bild unitär äquivalent sind, handelt es sich um eine "Ableitung" der Schrödinger-Gleichung aus der klassischen Phasenraummechanik.

Kleine Ergänzung zu der großartigen Antwort von ACuriousMind als Antwort auf einige der Kommentare, die nach einer Ableitung der Schrödinger-Wellengleichung unter Verwendung der Ergebnisse von Feynmans Pfadintegralformalismus fragen:

(Anmerkung: nicht alle Schritte können hier aufgenommen werden, es würde zu weit führen, im Kontext einer Forum-Diskussions-Antwort zu bleiben.)

Im Pfadintegralformalismus wird jedem Pfad eine Wellenfunktion $Phi zugeordnet[x(t)]$, die zur Gesamtamplitude beiträgt, sagen wir mal, um von $a$ nach $b zu gehen.$ Die $Phi$'s haben den gleichen Betrag, aber unterschiedliche Phasen, was gerade durch die klassische Aktion $S gegeben ist $ wie im Lagrange-Formalismus der klassischen Mechanik definiert. Bisher haben wir: $$ S[x(t)]= int_{t_a}^{t_b} L(dot{x},x,t) dt $$ und $$Phi[x(t)]=e^{(i/hbar) S[x(t)]}$$

Bezeichnet die Gesamtamplitude $K(a,b)$, gegeben durch: $$K(a,b) = sum_{Wege-a-nach-b}Phi[x(t)]$$

Die Idee, sich der Wellengleichung zu nähern, die die Wellenfunktionen als Funktion der Zeit beschreibt, sollte damit beginnen, das Zeitintervall zwischen $a$-$b$ in $N$ kleine Intervalle der Länge $epsilon$ zu unterteilen, und zwar besser Notation verwenden wir $x_k$ für einen gegebenen Weg zwischen $a$-$b$ und bezeichnen die volle Amplitude, einschließlich ihrer Zeitabhängigkeit, als $psi(x_k,t)$ ($x_k$ genommen über eine Region $R $):

$$psi(x_k,t)=lim_{epsilon to 0} int_{R} expleft[frac{i}{hbar}sum_{i=-infty}^{+infty}S(x_{i+1},x_i)right]frac{dx_{k-1}}{A} frac{dx_{k-2}}{A}... frac{dx_{k+1}}{A} frac{dx_{k+2 }}{A}... $$

Betrachten wir nun obige Gleichung, wenn wir die Amplitude zum nächsten Zeitpunkt $t+epsilon$ wissen wollen:

$$psi(x_{k+1},t+epsilon)=int_{R} expleft[frac{i}{hbar}sum_{i=-infty}^{k}S(x_{i+1},x_i)right]frac{dx_{k}}{A} frac{dx_{k-1}}{A}... $$

Die obige Gleichung ähnelt der vorangehenden Gleichung, wobei der Unterschied auf dem Hinweis beruht, dass der hinzugefügte Faktor mit $exp(i/hbar)S(x_{k+1},x_k)$ keinen der Terme beinhaltet $x_i$ vor $i

$$psi(x_{k+1},t+epsilon)=int_{R} expleft[frac{i}{hbar}sum_{i=-infty}^{k}S(x_{i+1},x_i)right]psi(x_k,t)frac{dx_{k}}{A}$$

Nun ein Zitat aus Feynmans Originalarbeit bezüglich des obigen Ergebnisses:

Diese Beziehung, die die zeitliche Entwicklung von $psi$ angibt, wird für einfache Beispiele bei geeigneter Wahl von $A$ als äquivalent zur Schrödingergleichung gezeigt. Tatsächlich ist die obige Gleichung nicht exakt, sondern gilt nur in der Grenze $epsilon to 0$ und wir werden die Schrödinger-Gleichung ableiten, indem wir annehmen, dass diese Gleichung bis zur ersten Ordnung in $epsilon$ gültig ist. Obenstehendes brauchen gelten nur für kleine $epsilon$ bis zur ersten Ordnung in $epsilon.$

In seiner Originalarbeit, in der er die Berechnungen für 2 weitere Seiten weiterverfolgt, wo wir die Dinge verlassen haben, zeigt er dann Folgendes:

Streicht man $psi(x,t)$ von beiden Seiten und vergleicht Terme erster Ordnung in $epsilon$ und multipliziert mit $-hbar/i$ erhält man

$$-frac{hbar}{i}frac{partial psi}{partial t}=frac{1}{2m}left(frac{hbar}{i}frac{ partial}{partial x}right)^2 psi + V(x) psi$$ was die Schrödingergleichung ist.

Ich möchte Sie dringend dazu ermutigen, sein Originalpapier zu lesen, keine Sorge, es ist wirklich gut geschrieben und lesbar.


Referenzen: Space-Time Approach to Non-Relativistic Quantum Mechanics von RP Feynman, April 1948.

Feynman-Pfadintegrale in der Quantenmechanik, von Christian Egli

Laut Richard Feynman in seinen Vorlesungen über Physik, Band 3, und paraphrasiert "Die Schrödinger-Gleichung kann nicht abgeleitet werden". Laut Feynman wurde es von Schrödinger erfunden und liefert zufällig die Vorhersagen des Quantenverhaltens.

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