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Warum wird die Schrödinger-Gleichung bei der Lösung des harmonischen Quantenoszillators nicht dimensioniert?

Dieser Pfosten wurde von unseren Spezialisten genehmigt, sodass die Genauigkeit dieser Aufteilung gewährleistet ist.

Lösung:

Wenn wir also keine Informationen zu den Gleichungen hinzufügen, was ist dann der Sinn dieser zufällig aussehenden Substitutionen?

Diese Substitutionen sind durchaus hilfreich. Nicht, weil sie neue Informationen hinzufügen (wie du schon sagtest, lernen wir nichts, was wir nicht schon vorher wussten), sondern weil sie uns ermöglichen siehe was wir bereits haben. Sie lassen uns auch das System in Augenschein nehmen, wie ich es gerne nenne, was im Wesentlichen bedeutet, dass man viel mehr erraten kann, ohne auf Berechnungswerkzeuge zurückgreifen zu müssen.

Im Wesentlichen, nachdem man diese Substitutionen vorgenommen hat,

  1. Man kann sich leicht vorstellen, was passiert, wenn man die Proportionen zwischen den Eingabewerten ändert (dies ist ein allgemeiner Vorteil der Nichtdimensionalisierung)

  2. Man kann mögliche Lösungen leicht "erraten".


Hier ist eine Erklärung:

Du bist die Substitutionen nicht durchgegangen, deshalb hier ein kurzer Überblick über den Lösungsweg. Du kannst jeden Schritt überprüfen, um sicherzustellen, dass du genau siehst, was mit den Dimensionen der Gleichung passiert. Beginne mit der Schrödinger-Gleichung, $$left(frac{P^2}{2m}+frac{1}{2}omega^2x^2right)psi(x, t)=Epsi(x, t)$$
(Man beachte, dass die LHS der Hamiltonian ist, $mathscr{H}=T+V=left(frac{P^2}{2m}+frac{1}{2}omega^2x^2right)$(und das ist alles eindeutig dimensional korrekt)

Sie sind mit dem Konzept der Nicht-Dimensionierung vertraut, also überfliege ich das: Nehmen Sie $epsilon=frac{E}{hbaromega}$ und erhalte (nach Erweiterung des Impulsoperators und so) $$frac{momega}{2hbar}x^2psi(x, t)-frac{hbar}{2momega}frac{partial^2}{partial x^2}psi(x, t)=epsilonpsi(x, t)$$ Im Moment gibt es keinen offensichtlichen Unterschied zwischen dieser Gleichung und der ursprünglichen mit $E$ in der Gleichung: Sie sieht zwar etwas sauberer aus, aber es ist nichts Triviales zu erkennen. Versuchen wir also ein anderes Paar von Substitutionen, $x=alpha u$ und $alpha=sqrt{frac{hbar}{momega}}$. In den meisten Büchern werden diese Substitutionen nacheinander vorgenommen, mit Erweiterungen der Gleichung in jeder Phase, aber da die Frage besagt, dass sie bereits mathematisch selbsterklärend sind, werde ich zum Ergebnis der Anwendung dieser Substitutionen und der Vereinfachung übergehen. Man erhält diesen magisch sauberen Ausdruck, $$u^2psi(x, t)-frac{partial^2}{partial u^2}psi(x, t)=2epsilonpsi(x, t)$$
Oder, wenn ich etwas lockerer mit der Notation sein darf, $$-psi''+u^2psi=2epsilonpsi$$ und $$psi''=(u^2-2epsilon)psi$$

Dies ist offensichtlich unter bestimmten Bedingungen recht einfach zu lösen. Wir können erraten, was passiert, wenn $urightarrowinfty$: Die $epsilon$-bezogenen Terme werden vernachlässigbar klein, also lösen wir $psi''=u^2psi$. Und das ist leicht zu erraten; die Ergebnisse lauten etwa so $psi=Au^ke^{u^2/2}$. Das ist natürlich nichts, was man erreichen könnte, wenn man nicht die Möglichkeit hätte. $u$ im Bild hätte, und wenn man nicht $epsilon$ eingeführt hätte, wäre es schwierig gewesen, genau herauszufinden, welche Terme zu Null approximiert wurden. Ein ähnliches Verfahren kann man anwenden, um die Lösungen für $urightarrow 0$.


Der nächste offensichtliche Vorteil des Entfernens der Einheiten ist die Übersichtlichkeit und Allgemeinheit der Berechnungen für verschiedene Größenordnungen. Es ist eine übliche Technik, alle anderen Einheiten in einem System als Werte anzunehmen, so dass $hbar=1$ und $c=1$. Das macht viele Berechnungen einfacher. In diesem Fall setzen wir die Einheiten der Energie ($E$) als $E$ (nur um das zu überprüfen, $hbar$ hat Handlungseinheiten, $[E T]$ (Ich verwende eine nicht standardisierte $[E]$ für Energie), und $omega$ ist die Frequenz, $[T^{-1}]$ ). Wir skalieren auch die Länge auf $sqrt{frac{hbar}{momega}}$. Außerdem ist es durch die Festlegung dieser Werte einfach, intuitive Vermutungen über die Größenordnung des Problems anzustellen (dies ist ein allgemeiner Vorteil des Entfernens von Dimensionen und ist nicht sehr spezifisch für den harmonischen Quantenoszillator). Dies macht es einfach, dieselbe Gleichung für Systeme mit unterschiedlichen Größenordnungen zu verwenden (zum Beispiel Situationen, in denen die Amplitude $u$ wirklich winzig ist und Situationen, in denen sie riesig ist), ohne das Verständnis und das "Gefühl" für das, was vor sich geht, zu verlieren.

Für dein spezielles Problem und angesichts der Allgegenwart des harmonischen Oszillators bedeutet der Wechsel zu dimensionslosen Variablen, dass du Folgendes verwenden kannst die gleiche Grundlösung für eine große Anzahl von Problemen, und erhalten Sie die spezifische Lösung, die Sie brauchen, indem Sie einfach die verschiedenen Skalen anpassen.

Ganz allgemein gibt es dafür eine Reihe guter Gründe. Erstens gibt die Suche nach "natürlichen" Einheiten in der Regel Aufschluss über die verschiedenen Maßstäbe eines Problems. Zweitens werden durch die Verwendung dieser natürlichen Einheiten die resultierenden Gleichungen in der Regel sauberer. Ein dritter, aber weniger wichtiger Grund ist, dass die Verwendung eines Systems "natürlicher" Einheiten, bei dem die Zahlen weder klein noch groß sind, rechnerisch von Vorteil ist.

Betrachten wir den radialen Teil $chi(r)=r R(r)$
der Schrödingergleichung
Gleichung für das Wasserstoffatom. Sie ist die Lösung der Differentialgleichung

$$
-frac{hbar^2}{2m} frac{d^{2}}{dr ^{2}}chi (r )+ left(-frac{e^{2}}{4pi epsilon _{0}r}+
frac{hbar^2}{2m}frac{ell(ell+1)}{r ^{2}}rechts)chi (r )
=Echi(r) tag{1}
$$
wobei $m$ die Masse des Elektrons ist, $hbar$ ist die reduzierte Planck-Konstante, $E$ ist die zugehörige Energie zu $chi(r)$ , und $ell$
ist eine ganze Zahl.

Führen Sie den Bohr-Radius als Längeneinheit ein, definiert als
begin{equation}
a_{0}=frac{4pi^{2}hbar^{2}epsilon_0}{pi me^{2}}=frac{4pihbar ^{2}epsilon_{0}}{me^{2}},
end{equation}
und die dimensionslose Größe $rho = r/a_{0}$.

Schreiben Sie das Coulomb-Potential in Bezug auf die dimensionslose Größe um $rho$
, erhalten wir
$$
V(r)=-frac{e^{2}}{4pi epsilon _{0}r}=-frac{e^{2}}{4pi epsilon _{0}}
frac{me^{2}}{(4pi epsilon _{0})hbar ^{2}}frac{1}{rho }
=-frac{me^{4}}{(4piepsilon _{0})^{2}hbar ^{4}}
frac{1}{rho}=V(rho).
$$
Führt man die Substitution von $r$ nach . $r$
,transformiert die Differentialgleichung in
$$
frac{-me^{4}}{2(4pi epsilon _{o})^{2}hbar ^{2}}
frac{d^{2}}{drho ^{2}}chi (rho )
+left[ -frac{me^{4}}{(4piepsilon _{o})^{2}hbar ^{4}rho}
+frac{me^{4}}{2(4pi epsilon_{o})^{2}hbar ^{2}}
frac{ell(ell+1)}{rho ^{2}}right] chi (rho ) =Echi(rho ).
$$

Die Bohrsche Energie
$$
bar E=frac{me^{4}}{2(4pi epsilon _{o})^{2}hbar ^{2}}%
ca. 13,6 eV ~sim 2,2mal 10^{-18}J
$$

ist eine naheliegende Wahl für eine Energieskala.

Dividiert man durch diesen Wert, so erhält man den viel klareren Ausdruck
$$
-frac{d^{2}}{drho ^{2}}chi (rho )+left[-frac{2}{rho }
+frac{ell(ell+1)}{rho ^{2}}right] chi (rho )=frac{E}{bar E}, chi (rho )
$$
ganz in Bezug auf die dimensionslosen Variablen
$$
bar{V}(rho )=frac{V(rho )}{bar{E}}=-frac{2}{rho},quadnu =-frac{E}{bar{E}} .
$$

Dies veranschaulicht, dass wir durch den einfachen Übergang zu dimensionslosen Koordinaten ein Gefühl für die in der Atomphysik involvierten Energien bekommen: nicht MeVs oder GeVs, sondern einfach eVs. Außerdem sind die Größen in der Atomphysik normalerweise die Größe des Bohr-Radius, d.h. $sim 10^{-11}m$. Wir müssen niemals kleine Größen manipulieren, wie z.B. $10^{-18}J$
oder $10^{-11}m$.

Diese Form ist nicht nur sauber, sondern lässt sich auch gut mit dem Computer lösen: Computer arbeiten nur mit dimensionslosen Größen, so dass es für sie keine Rolle spielt, welche Einheiten gewählt werden.

Dafür gibt es zwei Hauptgründe:

  • Es liefert eine wichtige physikalische Erkenntnis über die charakteristischen Dimensionen des Systems und wie diese von den Basisparametern abhängen.
  • Die Gleichung ist leichter zu handhaben, weil die Notation übersichtlicher wird.

Wie Sie anmerken, ändert die Entdimensionierung einer Differentialgleichung diese nicht grundlegend und macht sie nicht auf magische Weise besser lösbar. Alle Änderungen sind kosmetisch, aber kosmetische Änderungen sind immer noch wichtig; wir sind Menschen mit begrenzten Affenhirnen, und eine einfachere Notation macht die Sache einfacher.


Der wichtigste Grund ist jedoch, dass Sie tun. wichtige physikalische Erkenntnisse aus dem Prozess gewinnt. Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung für das Problem,
$$
frac{-hbar^2}{2m}frac{partial^2}{partial x^2}psi(x)+frac{1}{2}momega^2x^2psi(x) = E psi(x),
$$
hat drei relevante dimensionsbezogene Parameter, $m$, $omega$ und $hbar$, und wenn man drei dimensionale Parameter hat, die einen dreidimensionalen Raum von Größen abdecken (d.h. $[m]=[M]$, $[omega]=[T^{-1}]$ und $[hbar]=[M:L^2:T^{-1}]$ sind alle algebraisch unabhängig), dann hat man ein starres System im Sinne des Buckingham-Pi-Theorems: Zwei beliebige Kopien des Problems haben das gleiche Verhalten und sind bis zu einer Neuskalierung identisch.

(Andererseits, wenn man eine vierte Parameter innerhalb dieses dreidimensionalen Raumes, wie z.B. einen quartischen Term $frac14alpha x^4$
dann bleibt ein "Form"-Parameter übrig, und nicht alle Kopien des Systems werden sich isomorph verhalten. Aber ich schweife ab).

Die Tatsache, dass man hier drei Parameter hat, erlaubt es zudem, für alle physikalischen Dimensionen eindeutig bestimmte Kenngrößen zu bilden, darunter insbesondere

  • eine charakteristische Länge, $sqrt{hbar/momega}$,
  • ein charakteristisches Momentum, $sqrt{hbar m omega}$,
  • eine charakteristische Energie, $hbaromega$,

und durch sie jede andere Dimension, die man nennen möchte. Das bedeutet, dass, wenn wir die Variablenersetzungen vornehmen
begin{align}
x & = sqrt{hbar/momega} xi
p & = sqrt{hbar momega} pi
E & = hbaromega epsilon,
end{align}

Was wir tun, ist die Identifizierung eines einzelnen kanonischen Kopie des Problems,
$$
-frac{1}{2}frac{partial^2}{partial xi^2}psi(xi)+frac{1}{2}xi^2psi(xi) = epsilon psi(x),
$$
zusammen mit dem kanonischen Re-Scaling, das die relevanten Längen- und Energieskalen für das Problem angibt.


Und wenn man die Gleichung in einer Form ohne fremde Parameter hat und der einzige freie Griff die de-dimensionalisierte Energie ist ist, wird viel klarer, welche Parameter eine Rolle spielen und welche nicht (oder besser gesagt, die Parameter, die keine Rolle spielen, sind weggefegt). Die resultierende Differentialgleichung ist mathematisch äquivalent zu der, mit der Sie begonnen haben, aber Sie haben Unordnung entfernt, und das macht es einfacher, damit zu arbeiten, besonders wenn Sie fortfahren, dies als Teil eines größeren Systems einzubeziehen.

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