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Sätze von ganzen Zahlen, die in einem magischen Quadrat platziert werden können

Lösung:

Ja, es gibt eine Formel für alle $(n+1)mal (n+1)$ magisches Quadrat, das man mit etwas Fleiß und geschickten Spielzügen ableiten kann:

Lasst uns beginnen

Da ich keinen Zugriff auf Bearbeitungswerkzeuge habe, sage ich die Zelle $(a,b)$ ist die Zelle auf dem $a^{th}$ Linie und $b^{tn}$ Säule.

Lass uns füllen $(i,j)$ mit $x_{(a-1)n+b}$, $füralle i,j$ mit $1leq i,j leq n$ und $(n+1,n+1)=x$

Beachten Sie, dass die "magische Summe" $$sum_{i=0}^{n-1}x_{in+i+1}+x=S$$

Merken Sie sich diese Eigenschaft als $$

. denn das sind die Zahlen auf der großen Diagonale, die bei beginnt $(1,1)$ und endet um

$(n+1,n+1)$

Wir können alle verbleibenden Zellen entsprechend füllen. Wir bekommen das$füralle k$ ,

$1leq kleq n$

$$(k,n+1)=S-sum_{i=1}^{n}x_{(k-1)n+i}$$

und

$$(n+1,k)=S-sum_{i=0}^{n-1}x_{in+k}$$ (Wenn Sie es noch nicht getan haben, zeichnen Sie dieses Quadrat. Vielleicht versuchen Sie es mit kleinen Fällen wie $n=4$ oder $5$

Erste. ) Damit das Quadrat magisch ist, müssen wir das Grundstück auf die $(n+1)^{th}$ Reihe, die $(n+1)^{th}$ Spalte und die große Diagonale, die bei beginnt $(1,n+1)$ und endet um

$(n+1,1)$

Mit anderen Worten, Folgendes muss passieren: Für die $(n+1)^{th}$

Säule:

$$S=sum_{k=1}^{n}(k,n+1)+x=sum_{k=1}^{n}bigg(S-sum_{i=0}^{ n-1}x_{in+k}bigg)+x=ncdot S-sum_{i=1}^{n^2}x_i+x$$ Für die $(n+1)^{th}$

Reihe:

$$S=sum_{k=1}^{n}(n+1,k)+x=sum_{k=1}^{n}bigg(S-sum_{i=1}^{ n}x_{(k-1)n+i}bigg)+x=ncdot S-sum_{i=1}^{n^2}x_i+x$$

Für die zweite große Diagonale:

$$S=sum_{i=1}^{n+1}(i,n+2-1)=bigg(S-sum_{i=1}^{n}x_ibigg)+bigg (S-sum_{i=0}^{n-1}x_{in+1}bigg)+sum_{i=2}^{n}x_{in-(i-2)}$$ Die Bedingungen für die $(n+1)^{th}$ Spalte und Zeile sind gleich. Verwenden von$

$

, wir bekommen $$x=frac{sum_{i=1}^{n^2}x_i-(n-1)sum_{i=0}^{n-1}x_{in+i+1}}{ n}$$ Dies ist also die erste Bedingung. Als Beispiel verwenden Sie die in den Kommentaren angegebene Formel für die $3mal 3$quadratisch (also

$n=2$

), entspricht dies:

$$c+b=frac{big(c-b+c+(a+b)+c-(ab)+cbig)-big(c-b+cbig)}{2}= frac{2c+2b}{2}$$

was wahr ist.

Sehen wir uns nun die Bedingung für die andere große Diagonale an. Wir haben $$S=sum_{i=1}^{n+1}(i,n+2-1)=bigg(S-sum_{i=1}^{n}x_ibigg)+bigg (S-sum_{i=0}^{n-1}x_{in+1}bigg)+sum_{i=2}^{n}x_{in-(i-2)}$$ also mit

$ $ und reduzierend, erhalten wir$$x=sum_{i=1}^{n}x_i+sum_{i=0}^{n-1}x_{in+1}-sum_{i=2}^{n}x_{in -(i-2)}-sum_{i=0}^{n-1}x_{in+i+1}$$

Auch dies kann mit der Formel für überprüft werden

$3mal 3$ ) Schlussfolgern

Die einzige Bedingung (ausreichend und notwendig), damit ein Quadrat perfekt ist, ist: (Beachte, ich habe das Endergebnis mit den 2 Gleichheiten für $x$ und durch Reduzierung einiger Begriffe) Betrachten Sie eine $(n+1)times(n+1)$ Quadrat. Erwägen $(a,b)$ die Zelle befindet sich auf der $a^{th}$ Linie und $b^{tn}$ Säule. Lass uns füllen$(i,j)$ mit $x_{(a-1)n+b}$ ,$füralle i,j$ mit

$1leq i,j leq n$

. Dann müssen wir haben: $$sum_{i=1}^{n^2}x_i+sum_{i=0}^{n-1}x_{in+i+1}=ncdotbigg(sum_{i=1 }^{n}x_i+sum_{i=0}^{n-1}x_{in+1}-sum_{i=2}^{n}x_{in-(i-2)}bigg) $$ Also um deine Fragen zu beantworten: Gegeben eine Menge von $(n+1)^2$ ganze Zahlen können wir an . bilden $(n+1)mal (n+1)$ perfektes Quadrat mit ihnen, wenn und nur wenn es sie gibt

$x_1,x_2,...,x_{n^2}$

so dass $$sum_{i=1}^{n^2}x_i+sum_{i=0}^{n-1}x_{in+i+1}=ncdotbigg(sum_{i=1 }^{n}x_i+sum_{i=0}^{n-1}x_{in+1}-sum_{i=2}^{n}x_{in-(i-2)}bigg) $$ Feinschliff Um die tatsächliche Formel für jede einzelne verdammte Zelle zu erhalten, verwenden Sie einfach die Formel für $(n+1,n+1)=x$ du willst, und dann die Formeln für

$(n+1,k$

und

$k,n+1)$

PS Es tut mir leid, aber schöner können die Formeln nicht sein 🙁

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