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Maß für die Unterstützung einer Borel-Wahrscheinlichkeit auf einem metrischen Raum

Lösung:

Lassen Sie mich, dem Beispiel Pietros folgend, bemerken, dass es ein Gegenbeispiel gibt, wenn es einen messbaren Kardinal gibt.

Angenommen, $kappa$ ist ein messbarer Kardinal. Dann gibt es ein $kappa$-additives 2-wertiges Maß $mu$, das alle Teilmengen von $kappa$ misst, ihnen entweder das Maß $0$ oder $1$ gibt, das Maß $1$ für den gesamten Raum und das Maß $0 gibt $ zu einem beliebigen Satz mit einer Größe kleiner als $kappa$ (unter anderem). Geben wir $kappa$ die diskrete Topologie, dann ist jede Menge abgeschlossen (und damit Borel), und der Träger ist leer.

Jedes $sigma$-glatte Maß ist $tau$-glatt. Das brauchen wir. Wie bereits erwähnt, kann dies bei einem (reellwertigen) messbaren Kardinal für einen metrischen Raum fehlschlagen. Ein Raum heißt "maß-kompakt", wenn jedes $sigma$-glatte Maß $tau$-glatt ist.

Die Referenz für all dies (bis 1965) ist: VS Varadarajan, "Measures on Topological Spaces". In einem vollständig regulären Raum würden wir "Nullmengen" verwenden (eine Menge, in der einige stetige reellwertige Funktionen verschwinden). Aber in einem metrischen Raum sind dies dieselben wie die abgeschlossenen Mengen. Ein (endliches, Borel-)Maß $mu$ auf einem metrischen Raum ist $sigma$-glatt, wenn es nachweisbar additiv ist, aber wenn $A_n$ eine abnehmende Folge abgeschlossener Mengen ist, dann ist $mu(A_n) $ konvergiert zu $mu(bigcap_n A_n)$. Eine stärkere Bedingung auf $mu$ ist $tau$-glatt: Wenn $A_t$ ein abnehmendes Netz abgeschlossener Mengen ist, dann konvergiert $mu(A_t)$ gegen $mu(bigcap_t A_t)$. Die "Unterstützung" eines Wahrscheinlichkeitsmaßes $mu$ ist der Schnittpunkt aller abgeschlossenen Mengen des Maßes $1$. Und (angenommen $mu$ ist $tau$-glatt) hat dieser Schnittpunkt wieder das Maß $1$.

Soweit ich mich erinnere, ist ein metrischer Raum genau dann maßkompakt, wenn es keine diskrete Teilmenge mit reellwertigem messbarem Kardinal gibt. Also insbesondere, wenn es sind keine realwertigen messbaren Kardinäle, dann lautet die Antwort auf die Frage im Titel JA. Joel hat das Gegenteil bewirkt. Somit ist diese Frage vermutlich unabhängig von ZFC.

Der Begriff "Measure-Compact" geht auf Moran, 1965 zurück. In Analogie zu "real-compact", der auf die gleiche Weise nur mit ${0,1}$-bewerteten Maßen charakterisiert werden kann.

Betrachten Sie einen überzähligen diskreten metrischen Raum $X $ (dh mit dem Kronecker-Delta metrisch). Definiere ein Maß auf $X$ und setze für jede $ATeilmenge X,\ $ $mu(A)=1$ oder $mu(A)=0$, je nachdem ob $A$ zu einem gegebenen Nicht-Prinzipal gehört ultrafilter $mathcal{F}$, oder nicht (Sigma-Additivität gilt, denn es gibt keine disjunkten Teilmengen von positiven Maßen). Dann ist $mu$ ein Borel-Wahrscheinlichkeitsmaß mit leerer Unterstützung.

[edit] Tatsächlich ist dies additiv, aber um die Sigma-Additivität zu gewährleisten, müsste $mathcal{F}$ unter abzählbaren Schnittpunkten abgeschlossen sein.

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