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Maclaurin-Entwicklung von $arctan(x)/(1 − x).$

Lösung:

Die Idee hier ist, das Cauchy-Produkt zu verwenden. Da jedoch eine Reihe Exponenten von $k$ und die andere Reihe hat Exponenten von $2j+1$, müssen wir die Essenz der Produktformel extrahieren: das heißt für ein gegebenes $m$, deren Produkte die Terme geben $x^m$? Das wäre wenn $k+2j+1=m$. Somit ist der Koeffizient von $x^m$ im Endprodukt ist
$$ sum_{j=0}^{leftlfloorfrac{m-1}2rightrfloor}overbrace{vphantom{b} a_{m-2j-1} }^{ substack{text{Koeffizient}\text{of $x^{m-2j-1}$}}}overbrace{ b_j }^{substack{text{ Koeffizient}\text{von $x^{2j+1}$}}} $$
Das ist,
$$ sum_{k=0}^infty a_kx^ksum_{j=0}^infty b_jx^{2j+1} =sum_{m=0}^inftysum_{j=0} ^{leftlfloorfrac{m-1}2rightrfloor}a_{m-2j-1}b_jx^m $$
Schon seit $a_k=1$ für alle $kge0$, wir haben
$$ sum_{m=0}^inftysum_{j=0}^{leftlfloorfrac{m-1}2rightrfloor}overbrace{ frac{(-1)^ j}{2j+1} }^{b_j}x^m $$

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