Skip to content

Ist das Torricelli-Gesetz für große Löcher "falsch"? - Problem der Tankentleerung

Wir überprüfen jeden Abschnitt unserer Website gründlich mit dem Ziel, Ihnen die Informationen stets mit der größtmöglichen Wahrhaftigkeit und Genauigkeit anzuzeigen.

Lösung:

Ich glaube nicht, dass dies ein so großes Problem ist, wie es scheint.

Betrachten Sie die Steady-State-Annahme genauer. $v_2$ ist die endgültige . Geschwindigkeit, mit der das Loch durchquert wird, nachdem genügend Zeit verstrichen ist, um die Beschleunigung zu bewirken. Unmittelbar nach dem Öffnen des Lochs ist alles stationär. Es gibt eine Beschleunigungsphase, von der man normalerweise annimmt, dass sie eine kurze Zeit dauert.

Diese Annahme unterscheidet sich von der Annahme $A_1 gg A_2$, aber die Kombination der beiden macht die Szenarien kaputt, bei denen das Loch im Vergleich zur Wasseroberfläche groß ist. Schließlich ist $h_1$ in dem Ausdruck für $v_2$ enthalten. Das bedeutet, dass zwei Faktoren am Werk sind: 1) die anfängliche Beschleunigung der Flüssigkeit unterdrückt die Geschwindigkeit zu Beginn und 2) die Verringerung des Wasserspiegels unterdrückt die Geschwindigkeit gegen Ende der Strömung. Um also deine Frage zu beantworten:

Die Frage ist also: Welchen Effekt hat es, wenn wir die Annahme "A2< A1" in der Herleitung des Torricelli-Gesetzes streichen?

Ich denke, Sie haben es richtig gemacht. Der unendliche Fluss wird auf Grund offensichtlich falscher Annahmen vorhergesagt. Er hat einfach keine Zeit, sich zu beschleunigen, bevor der Wasserstand wesentlich sinkt, und man könnte daraus einige sehr klare Grenzen der Anwendbarkeit ableiten, außerhalb derer der Fluss niemals in die Nähe der Vorhersage der Gleichung kommt.

Um deine Frage zu beantworten :-

Aber was passiert, wenn wir diese Annahme über die Lochgröße nicht machen und einfach die erste Gleichung einsetzen?

Dann können wir aber nicht mehr die Gleichung $frac{1}{2}v_{2}^{2} = frac{1}{2}v_{1}^{2} + gh_{1}$, weil die Annahme $A_{2} ll A_{1}$ notwendig ist, um diese Gleichung abzuleiten, d.h. die Anwendung der Bernoulli-Gleichung (BE) erfordert, dass wir $A_{2} ll A_{1}$. Der Grund dafür ist, dass wir die Flüssigkeitsbewegung als stetige Strömung annähern müssen, um BE anwenden zu können.   Die BE wird für ein Strömungsrohr bei gleichmäßiger Strömung eines idealen (d.h. inkompressiblen und nicht viskosen) Fluids abgeleitet - siehe z.B. University Physics, Sears & Zemansky 13th Ed, S. 385.

Wenn wir BE direkt anwenden, um das Torricelli-Gesetz (TL) abzuleiten, behandeln wir die Flüssigkeit im Tank so, als wäre sie ein solches Stromrohr. Insbesondere die Forderung nach einer stetigen Strömung bedeutet, dass wir $A_{2} ll A_{1}$, und somit $v_{1} ll v_{2}$, so dass der Flüssigkeitsspiegel über ein kleines Zeitintervall $Delta t$ nur sehr geringfügig abfällt. Bei einer signifikanten Geschwindigkeit $v_{1}$ bricht diese Annahme zusammen - die Annäherung an eine stationäre Strömung ist nicht mehr gültig. Ein einfaches Experiment zeigt, dass in der Praxis die Austrittsgeschwindigkeit tut. mit der Zeit bei abnehmender Höhe variiert, und dass daher nicht wirklich eine stationäre Strömung vorliegt, sondern nur annähernd, wenn $A_{2} ll A_{1}$. Auch bei einem größeren $A_{2}$ besteht die Möglichkeit einer erheblichen Turbulenz in der Strömung.

Um genau zu sehen, wie diese Annäherung an die stationäre Strömung notwendig ist und auch um deine Frage zu beantworten :-

"Wie würde man das Torricelli-Gesetz ohne die Bernoulli-Gleichung ableiten?"

Wir können den Flüssigkeitskörper über eine kurze Zeit $Delta t$ und die Arbeits-Energie-Relation für ihn betrachten. (Man beachte, dass der Tank eine komplexe Form haben kann, mit gekrümmten Seiten und Boden). Die nachstehende Herleitung der TL entspricht der Herleitung der BE für ein Strömungsrohr bei gleichmäßiger Strömung im oben genannten Buch, aber ich habe die vereinfachenden Annahmen, die für die TL in Bezug auf die auf und innerhalb des Fluids wirkenden Kräfte erforderlich sind, etwas ausführlicher erörtert und festgestellt, dass die Näherung der gleichmäßigen Strömung erforderlich ist, um die Berechnung von $Delta KE$ zu vereinfachen. Dies zeigt, warum die TL in bestimmten Situationen, wie der in Ihrem Beitrag, nicht anwendbar ist. Die Beziehung zwischen Arbeit und Energie lautet

$$W^{(NC)} = Delta ME$$

wobei $W^{(NC)}$ = Arbeit aller nicht konservativen (NC) Kräfte auf das Fluid und $Delta ME = Delta KE + Delta PE$ = Summe der Änderungen der kinetischen Energie und der potentiellen Energie des Fluids über die Zeit $Delta t$.

enter image description here

Die obige Arbeits-Energie-Relation ist auf jeden Körper oder jedes System von Teilchen anwendbar (wenn die Newtonsche Mechanik gilt). In diesem Fall umfassen die NC-Kräfte alle Kräfte außer der Schwerkraft. Diese NC-Kräfte, die auf das Fluid wirken, umfassen :-

  1. Äußere NC-Kräfte

    a) Kräfte aufgrund der Drücke $p_{1}$ und $p_{2}$

    b) Kräfte, die von den Seiten und vom Boden des Behälters auf die Flüssigkeit wirken

    Da das Fluid als nichtviskos angenommen wird, ist die tangentiale "Reibungskomponente" von b) gleich Null, so dass nur eine normale Komponente übrig bleibt. Wir nehmen an, dass die Geschwindigkeit eines Fluidelements, das an die Seite/den Boden des Gefäßes angrenzt, immer rein tangential zur Seite/zum Boden ist, so dass die Normalkomponente von b) keine Arbeit auf dieses Fluidelement ausübt. (Wir gehen davon aus, dass keine unelastischen Stöße stattfinden, die einen Verlust an KE des Fluids verursachen würden).

  2. Innere NC-Kräfte

    Diese werden von benachbarten Fluidelementen auf ein Fluidelement ausgeübt. In einer laminaren Strömung bewegt sich ein benachbartes Element entweder mit dem Element, wobei in diesem Fall die gleichen und entgegengesetzten inneren Kräfte eine Nettoarbeit von Null verursachen, da ihr Angriffspunkt ein gemeinsamer ist, oder es gleitet mit einer viskosen Kraft von Null über das Element und verrichtet somit Null Arbeit (die Normalkomponente zwischen den Elementen verrichtet während eines solchen Gleitens keine Arbeit, da sie senkrecht zur Bewegung steht). (Man beachte, dass solche Elemente, die sich zusammen bewegen, den Elementen eines allgemeinen starren Körpers ähnlich sind - und im letzteren Fall können wir zeigen, dass die Nettoarbeit der inneren Kräfte gleich Null ist, weil diese Kräfte in gleichen und entgegengesetzten Paaren auf die inneren Flächen zwischen den Elementen wirken, wobei jedes Paar einen gemeinsamen Angriffspunkt hat).

Insgesamt ist $W^{(NC)}$ also nur auf die beiden Druckkräfte zurückzuführen, die normal auf die Flüssigkeitsoberflächen wirken, $p_{1}$ in Richtung der Bewegung und $p_{2}$ dagegen.

begin{eqnarray*}
W^{(NC)} &=& p_{1}A_{1}Delta s_{1} - p_{2}A_{2}Delta s_{2}
&=& Delta V(p_{1} - p_{2}),
end{eqnarray*}

wobei $Delta V = A_{1}Delta s_{1}$ = Volumen der Region $R_{1}$ (Abb. 1) = $A_{2}Delta s_{2}$ = Volumen der Region $R_{2}$ (Abb. 1).

Aus Abb. 1 ergibt sich, da die Dichte $rho$ gleichmäßig ist, dass in $R_{1}$ die gleiche Masse verloren geht wie in $R_{2}$ gewonnen wird und die Masse in $R_{3}$ vorher und nachher gleich ist, so dass wir haben

begin{eqnarray*}
Delta PE &=& rho g Delta V(y_{2} - y_{1})
&=& -rho g Delta V h
end{eqnarray*}

Zur Bestimmung von $Delta KE$ ist zu beachten, dass die KE des sich mit der Geschwindigkeit $v_{1}$ bewegenden Fluids im Bereich $R_{1}$ verloren geht und die KE des sich mit der Geschwindigkeit $v_{2}$ bewegenden Fluids im Bereich $R_{2}$ gewonnen wird, während die Gesamt-KE im Bereich $R_{3}$ gleich bleibt, da unter der Annahme einer annähernd stationären Strömung das Geschwindigkeitsfeld in $R_{3}$ über $Delta t$ gleich bleibt (dies bedeutet, dass $R_{3}$ einen geringeren Beitrag zu $Delta KE$ leistet als die kombinierte Wirkung von $R_{1}$ und $R_{2}$). Also .

$$$Delta KE = frac{1}{2}rhoDelta V v_{2}^{2} - frac{1}{2}rhoDelta V v_{1}^{2}.$$

Setzt man die obigen Gleichungen zusammen und dividiert durch $Delta V$, so erhält man

$$p_{1} - p_{2} = frac{1}{2}rho(v_{2}^2 - v_{1}^{2}) - rho gh.$$

Für den typischen Fall, dass $p_{1}$ und $p_{2}$ beide unter Atmosphärendruck stehen, reduziert sich dies auf die Gleichung

$$$frac{1}{2}v_{2}^{2} = frac{1}{2}v_{1}^{2} + gh$$

und damit zu

$$$frac{1}{2}v_{2}^{2} = gh$$

da $v_{1}$ klein ist, was zu TL führt.

Ein weiteres Szenario, in dem die TL versagt, wird in der SE-Frage "Warum scheint das Torricelli-Gesetz zu versagen, wenn das Wasser schneller wird, nachdem ich meinen Finger in einen Schlauch gesteckt habe?" erörtert, in der ein Tank über einen an der Austrittsöffnung angebrachten Schlauch entleert wird und die Ausflussgeschwindigkeit beobachtet wird, um Anstieg wenn ein Finger teilweise über das Schlauchende gelegt wird. Hier bricht TL zusammen, weil die Annahmen bezüglich $W^{(NC)}$ nicht mehr gültig sind - die Reibung spielt im engen Querschnitt des Schlauchs eine viel größere Rolle als entlang der breiteren Begrenzungen des Tanks, und es kommt zu einer gewissen Turbulenz. Die Gesamtströmung ist komplexer als das vereinfachte Szenario von TL. Die Reibung trägt einen negativen Betrag zu $W^{(NC)}$ bei und verringert die KE gegenüber dem von TL angegebenen Wert. (TL besagt, dass alle der PE-Verlust am Ausgang in KE umgewandelt wird). Durch die Verengung des Schlauchausgangs wird auch eine Kraft auf die Flüssigkeit ausgeübt, die zu unelastischen Stößen und KE-Verlusten führt, aber aufgrund ihrer verlangsamenden Wirkung auch die Reibung im Schlauch verringert. Selbst wenn die Gesamt-KE weniger aufgrund der Verengung des Schlauchausgangs, könnte die Austrittsgeschwindigkeit dennoch zunehmen, da der Volumenstrom der Flüssigkeit = Av ist und A abgenommen hat.

Ein weiteres interessantes Experiment mit TL ist der Fall, dass $p_{1} neq p_{2}$. Hier stellt man kontraintuitiv fest, dass die Austrittsgeschwindigkeit NULL :-

Bohren Sie ein Loch in der Nähe des Bodens einer Plastikflasche, füllen Sie sie mit Wasser und schrauben Sie den Deckel auf - das Wasser fließt dann überhaupt nicht aus dem Loch! (Ich habe dies mit Löchern von 3 mm und 8 mm Durchmesser versucht). Was passiert ist, ist, dass sich der Luftraum über dem Wasser leicht ausgedehnt hat (etwa 1 % oder so), da der Wasserspiegel leicht sinkt, so dass der Druck (nach dem Boyle'schen Gesetz) um ca. 1 % sinkt (d. h. um einige cm Wasserdruck - beachten Sie, dass 10 m Wasserdruck = 1 atm = ca. 100.000 Pa). Der Wasserdruck am Loch entspricht dann gerade dem atmosphärischen Druck, so dass kein Durchfluss stattfindet. Mit anderen Worten, wir haben $p_{1} < p_{2}$, und $p_{1} - p_{2} = -rho gh$ - und damit aus der obigen Gleichung $v_{2} = 0$. Wenn man die Flasche allmählich zur Seite kippt, kommt ein Punkt, an dem der Wasserstand so weit gesunken ist, dass der Druck im Inneren des Lochs so weit unter den atmosphärischen Druck sinkt, dass Luft in das Loch eindringt und ein Strom von Luftblasen nach oben in den Hohlraum fließt. Wird der Deckel abgeschraubt, während die Flasche senkrecht gehalten wird, ist sofort $p_{1} = p_{2}$, und das Wasser fließt aus dem Loch (und TL ist wieder gültig). Wenn man den Deckel wieder zuschraubt, wird der Durchfluss sofort gestoppt. TL versagt hier, weil $p_{1} neq p_{2}$. Das Prinzip dieses Experiments ist das gleiche wie das bekannte Experiment mit der umgedrehten Tasse Wasser und der Karte.

Ein Fall, bei dem die Annahme $A_{2} ll A_{1}$ noch scheitern könnte nicht ein Problem sein kann, ist die Verwendung von TL zur Berechnung der Entleerungszeiten für bestimmte Behälterformen, z.B. einen horizontalen zylinderförmigen Tank, wo $A_{2} ll A_{1}$ eindeutig nicht gültig ist, wenn sich der Flüssigkeitsstand in der Nähe der Ober- oder Unterseite des Tanks befindet. Eine gültige Formel erhält man jedoch für alle Füllstände, die nicht zu nahe an der Ober- oder Unterseite liegen, und im Grenzfall ergibt dies immer noch eine gute Annäherung an die Entleerungszeit.

(Diese Formel, die durch die Lösung einer Differentialgleichung erhalten wird, lautet :-

$$Delta t = frac{L}{3A_{H}} sqrt{frac{8}{g}} left[ (D - y_{2})^{3/2} - (D - y_{1})^{3/2} right ],$$

Zeit für das Absinken des Pegels von $y_{1}$ auf $y_{2}$, wobei $D$ = Durchmesser, $L$ = Länge, $A_{H}$ = Fläche des Lochs - wie z.B. in diesem Datenblatt angegeben, mit "Entladekoeffizient" ca. 1).

Bewertungen und Rezensionen

Denken Sie daran, dass Sie das Recht haben, eine Bewertung hinzuzufügen, wenn es Ihnen geholfen hat.



Nutzen Sie unsere Suchmaschine

Suche
Generic filters

Schreibe einen Kommentar

Deine E-Mail-Adresse wird nicht veröffentlicht.