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Finden Sie den Wert von $a$ wobei $a^x = frac{log(x)}{log(a)}$ nur eine Lösung hat

Lösung:

Da der Graph von $g$ ist das Spiegelbild des Graphen von $f$ durch die linie $y=x$, wir haben $f(x)=g(x)$ dann und nur dann, wenn $f(x)=x$. Also wollen wir $f(x)=x$ nur eine Lösung zu haben. Seit wir ... Haben $f(x)-xtoinfty$ Wenn $xtopminfty$, Wir müssen haben $f'(x)=1$ an der Stelle, wo $f(x)=x$.

Beachten Sie, dass $f'(x)=log(a)cdot a^x$, also lösen $f'(x)=1$ ergibt $x=log_a(1/log(a))$. Dann ist die Gleichung $f(x)=x$ wird $$frac1{log(a)}=log_aleft(frac1{log(a)}right)=frac{-log(log(a))}{log(a) },$$ so $-log(log(a))=1$, so $a=e^{e^{-1}}approx1.44466786$.

Betrachten Sie die Funktion
$$a^x-frac{log x}{log a}=e^{xln a}-frac{log x}{log a}tag1$$
Es erreicht das Minimum, wo seine Ableitung Null ist:
$$x=frac{W(1/loga)}{loga}$$
(Hier $W$ ist die Lambert-W-Funktion.) Diese setzen wir nun wieder in $(1)$ und bekommen, was eine Monstrosität zu sein scheint. Wir wollen auch, dass dies Null ist.
$$e^{W(1/loga)}-frac{logfrac{W(1/loga)}{loga}}{loga}=0$$
Aber jetzt, wenn wir ersetzen $a=e^{1/e}$, $W(1/loga)=W(e)=1$ und wir bekommen
$$e^{1}-frac{logfrac{1}{log e^{1/e}}}{log e^{1/e}}=e-frac{log frac{1}{1/e}}{1/e}=e-frac{1}{1/e}=0$$
Also in der Tat das Richtige $a$ ist $e^{1/e}$.

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